[2016년 대진고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

연립부등식 [eqn: {cases{log _{3} (x+2)<2#log _{{1} over {2}} (2x-1) GEQ log _{{1} over {2}} (3x+1)}}]을 만족하는 정수해의 개수는? [4.2점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{x -> 0} {{sqrt {ax+b} -2} over {e ^{x} -1} =2}]을 만족시키는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?  [4.2점]

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y=log _{ 2}(x-m)+n]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만나고, 이 두 점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: 1], [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: m-n]의 값은?  [4.2점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

방정식 [eqn: 4 ^{x} +4 ^{-x} =2(2 ^{x} +2 ^{-x} )+1]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: {2 ^{alpha + beta }} over {2 ^{alpha } +2 ^{beta }}]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: theta]에 대하여 부등식 [eqn: cos ^{ 2} theta-4sin theta LEQ3k]가 항상 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: {a} over {b}]라 하자. [eqn: tan {a} over {b} pi]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소이다.) [4.3점]

⑤

① [eqn: -sqrt { 3}]	② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: sqrt { 3}]

[eqn: sin theta = {4} over {5}]일 때, [eqn: sec theta +tan theta]의 값은? (단, [eqn: {pi } over {2} < theta < pi]이다.) [4.3점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

직선 [eqn: x+2y-3=0]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: {cos LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )} over {1+cos( pi + theta )} + {cos LEFT ( {3 pi } over {2} + theta RIGHT )} over {1+sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )}]의 값은?
(단, [eqn: {pi } over {2} < theta < pi]) [4.3점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0< theta< pi]이고 각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각 [eqn: 9theta]를 나타내는 동경이 일치할 때, 각 [eqn: theta] 중에서 가장 큰 각은 [eqn: {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.4점]

②

① [eqn: 3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 19]

화재가 발생한 건물의 온도는 시간에 따라 변한다. 어느 건물의 초기 온도를 [eqn: T _{0} CENTIGRADE], 화재가 발생한 지 [eqn: x]분 후의 온도를 [eqn: f(x) CENTIGRADE]라고 하면 [eqn: f(x)=T _{0} +k log(5x+1)] ([eqn: k]는 상수)이 성립한다고 한다. 초기 온도가 [eqn: 20 CENTIGRADE]인 이 건물에서 화재가 발생한 지 [eqn: {9} over {5}]분만에 온도가 [eqn: 200 CENTIGRADE]까지 올랐다고 할 때, 화재가 발생한 후 온도가 [eqn: 560 CENTIGRADE]가 되는데 걸리는 시간을 [eqn: {m} over {n}]일 때, [eqn: m-n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.) [4.4점]

④

① [eqn: 91]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 991]

④ [eqn: 994]	⑤ [eqn: 9991]

일차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {{cosx} over {f(x)} = {1} over {3}}]이 성립할 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -3 pi]	② [eqn: - {3 pi } over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {3 pi } over {4}]	⑤ [eqn: 3 pi]

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a cosbx+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{bx} -c} over {sinax}}]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]) [4.4점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0< alpha < {pi } over {2}], [eqn: {pi } over {2} < beta < pi]이고 [eqn: sin alpha = {sqrt {3}} over {3}], [eqn: cos beta =- {sqrt {3}} over {2}]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: sin( alpha - beta )=- {3+ sqrt {6}} over {6}]이다.

ㄴ. [eqn: cos( alpha + beta )=- {3 sqrt {2} + sqrt {3}} over {6}]이다.

ㄷ. [eqn: tan( alpha + beta )= {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {5}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: f(a+b)=f(a)+f(b)+(e ^{a} -1)(e ^{b} -1)]
을 만족시킨다. [eqn: f` prime (0)=2]일 때, [eqn: f` prime (ln3)]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]를
[eqn: f(x)=x ^{2} -4x-2], [eqn: g(x)=a ^{x}]([eqn: a>0], [eqn: a != 1])
라 할 때, [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]의 최댓값은 [eqn: 8]이다. 최솟값은?  [4.5점]

④

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1`} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2sqrt { 2}]

실수 전체 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]에 대하여 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고르면? [4.6점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=sinx-x cosx]일 때, [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( {pi } over {2} +2h RIGHT ) -1} over {h}} = pi]이다.

ㄴ. [eqn: g(x)=(2x- pi ) cosx]일 때, [eqn: lim _{x -> pi } {{g(x)-g(2 pi -x)} over {x- pi }} =-4]이다.

ㄷ. [eqn: h` prime (1)=10]일 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{h(2-cosx)-h(1)} over {x ^{2}}} =5]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0 LEQ x<4 pi]일 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: 4`cos {2x} over {n} +2=0]의 근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k}]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

서술형

다음은 함수 [eqn: y=2^x]의 그래프이다. 그래프 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: a<b])이고 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (2,```5)]이다. 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: m], 점 [eqn: rm B]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: n]일 때, [eqn: {m} over {n}]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.) [10점]

[eqn: {m} over {n}= {1} over {4}]

다음 두 함수를 도함수의 정의를 이용하여 도함수를 구하는 과정을 자세히 서술하시오. [10점]

(1) [eqn: 1overx]

(2) [eqn: -sinx]

(1) [eqn: y=lnx]  [5점]

(2) [eqn: y=cosx] [5점]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]가 있다. 호 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2n]등분하는 점을 각각
[eqn: rm P _{0} (=A)], [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3], [eqn: cdots], [eqn: rmP_{2 it n-1], [eqn: rm P _{it2n} (=B)]
이라 하고 점 [eqn: rm P _{it k rm} (it k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 2n-1)]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{it k rm} (it k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 2n-1)]이라 하자.
[eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{2n-1} bar{rm P _{it k} H _{it k}} ` ^{2}]
이라 할 때 [eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n)]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. [10점]

[eqn: 800]

[2016년 대진고]

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com